Numerical observations only. No theorem, proof, or asymptotic derivation is claimed. Observed correlations may be influenced by finite-range effects, normalization procedures, and statistical dependencies. Independent verification required.Зөвхөн тоон ажиглалт. Теорем, нотолгоо нэхэмжлэхгүй. Finite-range нөлөө, нормализаци, далд хамаарал нөлөөлж болно. Бие даасан давталтжуулалт шаардлагатай.
| p | log p | B(p) | A(p) obs. | R(p) |
|---|
All source files from the GitHub repository, with explanations. Click any file to expand.GitHub репозиторийн бүх файл тайлбарын хамт. Файл дарж задлаарай.
zeros1.txt (Odlyzko high-T data)zeros1.txt-аас тэгүүдийг уншина (Одлызкогийн өндөр-T өгөгдөл)scatter.pngScatter plot хадгална → scatter.pngimport numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import pearsonr # Load zero heights x = np.loadtxt("zeros1.txt") # Spacings d = np.diff(x) d = d - d.mean() # center primes = [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37] vals = [] for p in primes: a = d[:-p] b = d[p:] c = np.mean(a*b) # covariance at lag p vals.append(c) vals = np.array(vals) target = (np.log(primes)**2) / np.array(primes) # BK amplitude law test r, pv = pearsonr(vals, target) print("correlation =", r) print("p-value =", pv) # Scatter plot plt.scatter(target, vals) plt.xlabel(r'$(\log p)^2/p$') plt.ylabel('Amplitude') plt.title('Prime-Locked Excess') plt.savefig("scatter.png", dpi=200)
"""Тэгүүдийн power spectrum S(tau) тооцоолох""" import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def power_spectrum(tau, gamma): """S(tau) = |Σ e^{i τ γ_n}|² / N""" N = len(gamma) Z = np.sum(np.exp(1j * tau * gamma)) return np.abs(Z)**2 / N # Prime frequencies τ_p = log(p) / 2π primes = np.array([2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37]) tau_p = np.log(primes) / (2*np.pi) # Full spectrum tau_all = np.linspace(0, 0.8, 1000) S_all = np.array([power_spectrum(t, gamma) for t in tau_all]) S_obs = np.array([power_spectrum(t, gamma) for t in tau_p])
## Hilbert space H = L²((0,∞), dx/x) ## Mellin transform (Mf)(τ) = (1/√(2π)) ∫₀^∞ f(x) x^{-iτ} dx/x ## Prime operator (P_σ f)(x) = Σ_{n≥1} Λ(n)/n^σ · f(x/n) ## Multiplier theorem ← KEY RESULT M[P_σ f](τ) = -ζ'(σ+iτ)/ζ(σ+iτ) · Mf(τ) ## Energy identity E(σ,ε,X) = ∫_R |ζ'/ζ(σ+iτ)|² |φ̂(τ)|² dτ
## ❌ WRONG normalization (low-T) τ_p = log(p) / (2π) # → r ≈ 0.4–0.6, weak agreement observed ## high-T unfolded normalization τ_p = log(p) / log(T / 2π) # → earlier normalization produced higher r; later reanalysis shows result not robust ## Why this matters # At height T, zeros have mean spacing ~2π/log(T/2π) # The "unfolded" coordinate accounts for this # Montgomery's pair correlation uses this normalization
Odlyzko's zero tables: high-precision tabulations of γₙ (imaginary parts of non-trivial zeros of ζ(s)). Three datasets tested: zeros_ht (100K zeros, T≈74,920), zeros1 (~2M zeros near T~10¹²), zeros6 (~10K zeros near T~10¹³).
Let δₙ = γₙ₊₁ − γₙ be consecutive zero spacings. Define shifted covariance at lag h:
Одлызкогийн тэгийн хүснэгт: ζ(s)-ийн тривиаль биш тэгүүдийн γₙ-г өндөр нарийвчлалтайгаар тооцсон. Гурван датасет тест хийгдсэн.
δₙ = γₙ₊₁ − γₙ гэж тодорхойлно. h лаг дээрх шилжсэн ковариансыг:
The correct prime frequency at height T is τ_p = log(p) / log(T/2π). This unfolded normalization is essential — using log(p)/2π gives weak results (r≈0.4–0.6).
Bogomolny–Keating (1996) predicted amplitude A(p) ~ C·(log p)²/p. We test Pearson correlation between observed A(p) and B(p) = (log p)²/p.
Permutation tests (shuffled zeros) did not reproduce the observed pattern, suggesting the signal is not an obvious statistical artifact. Naive p-values as low as 2.64×10⁻¹⁵ — but see bootstrap controls for corrected estimates.
T өндөрт зөв прайм давтамж нь τ_p = log(p) / log(T/2π). Энэ задгай нормализаци зайлшгүй — log(p)/2π ашиглавал сул үр дүн (r≈0.4–0.6) гардаг.
Богомолны–Китинг (1996) A(p) ~ C·(log p)²/p гэж таамагласан. Ажиглагдсан A(p) болон B(p) хооронд Pearson корреляц тооцооллодог.
Permutation тест (холилдуулсан тэгүүд) ижил хэв маягийг давтаагүй — дохио нь статистикийн тодорхой артефакт биш гэж үзэж болно. Наив p = 2.64×10⁻¹⁵ — bootstrap-ийн засварласан тооцооллыг харна уу.
From a computational idea to a published preprint — and the road ahead toward deeper understanding of the Riemann Hypothesis. Тооцоолооны санаанаас нийтлэгдсэн preprint хүртэл — мөн Риманы таамаглалын гүнзгий ойлголт руу цаашдын зам.
All analysis uses Andrew Odlyzko's high-precision tabulations of non-trivial Riemann zeros, freely available at the University of Minnesota. Бүх шинжилгээ Миннесотагийн их сургуулийн Эндрю Одлызкогийн өндөр нарийвчлалтай тривиаль биш Риман тэгийн хүснэгтийг ашигладаг.
All publications updated to use mathematically accurate language. "confirmed" replaced with "strong numerical evidence". Zenodo v2 published.Бүх нийтлэлийн хэллэг математикийн стандартад нийцүүлэн шинэчлэгдсэн. "батлагдсан" → "хүчтэй тоон ажиглалт". Zenodo v2 нийтлэгдсэн.
Full research website with interactive charts, BK calculator, correlation analysis tool, roadmap, and Clay Prize context.Интерактив графиктай, BK тооцоолуур, корреляц шинжилгээний хэрэгсэл, roadmap, Clay шагналын мэдээлэлтэй бүрэн судалгааны вэб.
DOI: 10.5281/zenodo.20077673
Discovered that τ_p = log(p)/log(T/2π) (not log(p)/2π) is essential. Earlier runs showed r ≈ 0.4–0.6; current analysis gives r = 0.45–0.68 across datasets.τ_p = log(p)/log(T/2π) (log(p)/2π биш) зайлшгүй гэдгийг нээсэн. r нь 0.4–0.68 хооронд датасетээс хамаарна.
First test on 100,000 zeros. prime-indexed excess patterns across tested prime ranges positive. BK-type scaling observed.100,000 тэг дээрх анхны тест. 12/12 прайм позиц эерэг. BK-төрлийн scaling ажиглагдсан.
To assess whether the observed signal could be a statistical artifact, we ran control tests using shuffled zeros and random data. Дохио жинхэнэ бөгөөд статистикийн артефакт биш гэдгийг харьцуулахын тулд холилдсон тэгүүд болон санамсаргүй өгөгдөл дээр хяналтын тест хийсэн.
Question: "Numerical verification of Bogomolny-Keating prime peaks in Riemann zero power spectrum". Answered by Steven Clark (9,500+ rep) who suggested the explicit formula framework. Answer accepted. Асуулт: "Риман тэгийн power spectrum дэх Богомолны-Китингийн прайм оргилуудыг тоон харьцуулах". Steven Clark (9,500+ rep) тодорхой томьёоны хүрээг санал болгон хариулсан. Хариулт accepted хийгдсэн.
🔗Post: "Numerical observation: BK-type prime-lock scaling in high Riemann zero blocks (r=0.45–0.68, dataset-dependent) — looking for literature references" Пост: "Тоон ажиглалт: өндөр Риман тэгийн блок дахь BK-төрлийн прайм-lock scaling (r=0.45–0.68) — уран зохиолын лавлагаа хайж байна"
🔗DOI: 10.5281/zenodo.20077673 · Indexed in OpenAIRE
🔗When new zero datasets are tested or significant findings are published, we'll send a brief update. Шинэ тэгийн датасет тест хийгдэх эсвэл чухал олдвор нийтлэгдэх үед товч шинэчлэл илгээнэ.
Independent researcher based in Ulaanbaatar, Mongolia. Director at Nexcore LTD. Interested in numerical computation, number theory, and random matrix theory.
This research began as a computational exploration of the Bogomolny–Keating predictions for prime-correlated structure in Riemann zero statistics. Using Odlyzko's zero data, computational observations consistent with the BK amplitude law were found across multiple independent datasets.
Улаанбаатар, Монгол дахь бие даасан судлаач. Nexcore LTD-ийн захирал. Тоон тооцоолол, тооны онол, санамсаргүй матрицын онолыг судалдаг.
Богомолны–Китингийн таамаглалыг тоон аргаар шалгах оролдлогоос эхэлсэн судалгаанд BK амплитудын хуулийн хүчтэй нотолгоо олдсон.
BibTeX
@misc{namnansuren2026prime,
author = {Namnansuren, Myagmardorj},
title = {Numerical Evidence for Prime-Correlated
Structure in High Riemann Zero Blocks},
year = {2026},
publisher = {Zenodo},
doi = {10.5281/zenodo.20077673},
url = {https://zenodo.org/records/20077673}
}
APA
Namnansuren, M. (2026). Numerical Evidence for Prime-Correlated Structure in High Riemann Zero Blocks. Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.20077673